Bilangan real

Bilangan Real
Bilangan Real adalah bilangan-bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat, q≠0. Bilangan Irasional adalah bilangan-bilangan real yang tak dapat dinyatakan sebagai p/q dengan p,q bilangan bulat dan q≠0.

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan (real). Himpunan bagian dari garis bilangan disebut Selang.

Ada beberapa macam jenis selang, berikut jenis-jenis selang:

Dalam sistem bilangan ada beberapa sifat-sifat, seperti sifat lapangan bilangan real dan sifat urutan bilangan real.

Berikut sifat-sifat bilangan Real:

A.   Sifat lapangan bilangan Real

Untuk setiap x,y,z di R, berlaku

1.    Sifat komutatif

x + y = y + x; x . y = y . x

2.    Sifat asosiatif

x + (y + z) = (x + y) + z; x(yz) = (xy)z

3.    Sifat distributif kali terhadap tambah

x(y + z) = xy + xz

4.    Unsur kesatuan Terdapat unsur 0 (unsur kesatuan tambah atau unsur nol) dan 1 (unsur kesatuan kali atau unsur satuan) yang memenuhi x + 0 = 0 + x = z dan x . 1= 1 . x = x

5.    Unsur balikan (invers) (i) Untuk setiap x di R terdapat –x di R sehingga x + (-x) = 0 (-x lawan dari x) (ii) Untuk setiap x di R, x 0 terdapat x-1 di    R sehingga  x.x-1 = 1 (x-1 kebalikan dari x).

B.   Sifat Urutan Bilangan Real

1.    Trikotomi

Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y

2.    Ketransitifan

Jika x < y dan y < z maka x < z

3.    Perkalian

Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz. Sedangkan, bila z bilangan negatif, maka xz > yz.